Persamaan Kuadrat

PERSAMAAN KUADRAT

v  Pengertian Persamaan Kuadrat

Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

       ax² + bx + c = 0            Dimana a, b, c є R dan a ≠ 0.

 

   Koefisien x²    konstanta

       Koefisien x

Bentuk Lain Persamaan Kuadrat :

• (jika b = 0) disebut Persamaan Kuadrat Sempurna : ax² + c = 0
• (jika c = 0) disebut Persamaan Kuadrat Tak Lengkap : ax² + bx = 0

Dengan demikian persamaan kuadrat adalah persamaan berderajat dua dalam x

     

v  Cara- cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

a.       Memfaktorkan

untuk bentuk ax² + bx + c = 0), maka kalian harus menentukan dua buah bilangan yang jumlahnya  b dan hasil kalinya c

b.      Melengkapkan kuadrat sempurna

     ialah mengubah suatu bentuk kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna.

Misalnya x² – 2x diubah menjadi bentuk kuadrat sempurna x² – 2x + 1 = (x - 1)

c.       Menggunakan rumus kuadrat

x_1,2 = -b ± √ b2 – 4

               2a

                                                                       Dengan b² – 4ac  ≥

           

Nilai diskriminan (D)

Jika b2 – 4ac  < 0 maka persamaan kuadrat tidak memiliki penyelesaian

Jika b2 Jika b2 – 4ac  = 0 maka persamaan kuadrat memiliki tepat satu penyelesaian

Jika b2 – 4ac  > 0 maka persamaan kuadrat memiliki dua penyelesaian

v    Menyusun Persamaan Kuadrat

(x -  x1) (x – x2) = 0

Untuk akar-akar sebuah persamaan yang telah diketahui.

Ø  Memakai faktor  :                                                      

Ø  Memakai rumus jumlah dan hasil kali akar-akar

Diperoleh dari penjumlahan dan perkalian rumus abc

x₁ + x₂ =  -b  + √ b2 – 4ac   +  - b  - √ b2 – 4ac  

         2a                              2a

                  =   -2b       

                                     2a

                              =     -b

                                      a

   x₁ x x₂  =  -b  + √ b2 – 4ac   x  - b  - √ b2 – 4ac  

                              2a                           2a

                              =  b² – (b² – 4 ac)

                                    4a²

                              =  4ac

                                  4a²

                              =  c

                                  a

x2 – (x1   + x2) x + x1.x2 = 0

                                   

Sehingga dapat dinyatakan

   Contoh 1 :

☺        Bagaimana merubah persamaan 2x² = 3x - 8 ke dalam bentuk umum???

            Penyelesaian :  2x² = 3x – 8

                        <=>     2x²  - 3x =  3x-3x -8    (kedua ruas dikurangi 3x)

                        <=>     2x² – 3x = -8

                        <=>     2x² - 3x  + 8 = -8 + 8 (kedua ruas ditambah 8)

                        <=>     2x² – 3x +  8 = 0

                  Jadi a  = 2, b = - 3 dan c = 8

Contoh 2 :

Cara memfaktorkan

      Contoh :          x² – 5 x + 6 = 0

                           <=> ( x-2 ) ( x-3 ) = 0

                           <=> x- 2 = 0 atau x - 3 = 0

                           <=> x = 2     atau x = 3

                           Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah {2, 3}

Contoh 3

Cara Melengkapakan Kuadrat

Contoh :         Menentukan himpunan penyelesaian dari persamaan x² + 2x – 15 = 0 !

Jawab    :         x² + 2x – 15 = 0

                        x² + 2x = 15

Agar x² + 2x menjadii bentuk kuadrat sempurna, harus ditambah dengan kuadrat dari setengah koefisien x + (½ x 2)² = 12 = 1

Dengan menambahkan 1 pada kedua ruas, diperoleh :

            x² + 2x + 1 = 15 + 1

                        <=>     (x + 1)² = 16

<=>     x + 1 = ± √16

<=>     x + 1 =  ± 4

<=>     x + 1 = 4 atau x + 1 = -4

<=>     x = 4 - 1 atau x = -4 -1

<=>     x = 3 atau x = -5

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {3, -5}

Contoh 4

a.      Menggunakan rumus kuadrat

            Menentukan himpunan penyelesaian persamaan x² + 4x – 12 = 0

           

                                                                                     

                                                                                      a =1   b = 4   c = -12

            penyelesaian

            x_1,2 = - b ± √b² – 4ac

                            2a

<=>     x_{1,2 =}  - 4  ± √42 – 4 x 1x (-12)

                                    2 x 1

<=>     x_{1,2 =}  - 4  ± √16 + 48

                                2

           

<=>     x_{1,2 =}  - 4  ± √64

                            2

           

<=>     x_{1,2 =}  - 4  ± 8

                            2

<=>     x_{1,2 =}  - 4  +  8            atau        x_{1,2 =}  - 4   -  8          

2                                                                                        2

<=>     x₁ = 2                        atau       x₂ = -6

jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-6, 2}

Contoh 5 : Bagaimana menetukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 dan 5???

            Cara 1 :          x₁ = 2 dan x₂ = 5

                        Maka   (x-x₁) (x-x₂) = 0

                        <=>     (x-2) (x-5) =  0

                        <=>     x² – 7x + 10 = 0

                        Jadi persamaan kuadratnya x² – 7x + 10 = 0

            Cara 2            :          x₁ = 2 dan x₂ = 5

                        Maka   x₂ – (x₁+x₂)x + x₁.x₂ = 0

                        Dengan (x₁ + x₂) = 2 + 5 = 7

                                    x₁. x₂ = 2.5 = 10

                        Jadi persamaan kuadratnya x² – 7x + 10 = 0

Contoh 6 : penerapan Persamaan Kuadrat

Luas sebidang tanah berbentuk persegi panjang, yaitu 4.320 m². Jika panjang tanah itu 12m lebih panjang daripada lebarnya, berapakah panjang dan lebar tanah tersebut?

Penyelesaian :

Misalnya panjang tanah x meter dan lebar 4 meter maka

Y = ( x- 12) meter

Luas tanah = x . y

4.320        = x . y

<=>  4.320        = x . (x-12)

<=>  x² – 12x – 4320 = 0

<=>  (x- 72) (x + 60) = 0

<=>  x - 72 = 0  atau x + 60 = 0

<=>  x      = 72 atau  x   = - 60

karena panjang tanah harus positif,  nilai yang memenuhi adalah x = 72.

Untuk x = 72 maka y = x – 12 = 72 – 12 = 60

Jadi, panjang tanah  adalah 72 meter dan lebar tanah adalah 60 meter.